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tecnicamente un PID funziona in questo modo:
(P) Azione proporzionale
L'azione proporzionale è ottenuta moltiplicando il segnale d'errore "e" con un'opportuna costante:
UP = Kpe
È perfettamente possibile regolare un processo con un simile controllore, che risulta anche in grado di stabilizzare processi instabili. Tuttavia, non è possibile garantire che il segnale d'errore "e" converga a zero: questo perché un'azione di controllo "u" è possibile solo se "e" è diverso da zero.
(I) Azione integrale
L'azione integrale è proporzionale all'integrale nel tempo del segnale di errore "e", moltiplicato per la costante Ki:
uI = KI / e (t) dt
Questa definizione dell'azione integrale fa sì che il controllore abbia memoria dei valori passati del segnale d'errore; in particolare, il valore dell'azione integrale non è necessariamente nullo se è nullo il segnale d'errore. Questa proprietà dà al PID la capacità di portare il processo esattamente al punto di riferimento richiesto, dove la sola azione proporzionale risulterebbe nulla. L'azione integrale è anche l'elemento metastabile di un PID, perché un ingresso costante non convergerà a un determinato valore. Il fenomeno del Windup è dovuto alla presenza dell'integratore.
(D) Azione derivativa
Per migliorare le prestazioni del controllore si può aggiungere l'azione derivativa:
de
uD = KD -----
dt
L'idea è compensare rapidamente le variazioni del segnale di errore: se vediamo che "e" sta aumentando, l'azione derivativa cerca di compensare questa deviazione in ragione della sua velocità di cambiamento, senza aspettare che l'errore diventi significativo (azione proporzionale) o che persista per un certo tempo (azione integrale). L'azione derivativa è spesso tralasciata nelle implementazioni dei PID perché li rende troppo sensibili: un PID con azione derivativa, per esempio, subirebbe una brusca variazione nel momento in cui il riferimento venisse cambiato quasi istantaneamente da un valore a un altro, risultando in una derivata di "e" tendente a infinito, o comunque molto elevata. Ciò sconsiglia l'applicazione dell'azione derivativa in tutti i casi in cui l'attuatore fisico non deve essere sottoposto a sforzi eccessivi.
E in sostanza :
Le tre azioni di un PID vengono calcolate separatamente e semplicemente sommate algebricamente:
u = Up + Ui +Ud
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