Ho guardato gli schemi ed i DS, direi che per prima cosa dovresti verificare sulla scheda SparkFun se GND1 è collegata a GND, poi dovresti misurare la tensione presente sul nodo R3-R4 (UVLO 2.6V), tale tensione deve scendere sotto i 250mV con batteria a 2.6V.
Quando la VBATT < 2.6V il TPS61200 dovrebbe staccare l'uscita e passare in sleep, assorbendo quasi nulla, prova a tenere monitorate le 2 tensioni e vedi cosa succede.
E' chiaro che poi dovresti provvedere subito a ricaricare la batteria, se lasci tutto attaccato in qualche giorno è chiaro che la LiPo va a 0.
Non ho esperienza diretta di quei 2 IC ma sulla carta dovrebbe funzionare tuttto.
