[marcosinatti]

Il fatto che con una batteria funziona, conferma il fatto che ti serve aumentare le capacità sul circuito, l'elettrolitico vicino al pic da 100mF e un 100nF sono necessari, con le piste corte, vedendo il tuo pcb il condensatore C1 è in parallelo all'alimentazione del pic ma una delle due piste fa tutto un giro prima di richiudersi sul pic.
Io toglierei quel diodo e lascerei il 7805 che alimenta sia il pic che l'rfid.
Tra l'altro hai anche la caduta sul transistor che alimenta l'rfid, questa puoi risolverla usando un piccolo mosfet invece che il transistor.
Inoltre un offset di 0,6V sulla massa dell'rfid ti incide anche sul livello del segnale, dando origine a due riferimenti di massa diversi.
La batteria di backup puoi metterla a monte del 7805 tenendola in tampone con una resistenza in modo che si carichi sempre con una bassisima corrente, tipo 10mA, usando 6 stilo ni-mh e alimentando tutto con una alimentare da parete da 9v.
Mettendo un diodo in parallelo alla resistenza di carica fai in modo che quando manca tensione la batteria vada ad alimentare il circuito.
Il pin MCLR non ha un condensatore verso massa da 100nF, ogni piccolo transiente sul 5V ti va a resettare il pic.
Scusa se sembrano critiche ma sono solo consigli derivanti da esperienze già avute con questo tipo di problemi...